я вышла на территорию больницы и старалась найти бэби-бокс -- я попробовала найти бэби-бокс на территории больницы

Бэби-бокс – это специальное место, где матери могут оставить своего ребенка вполне аннонимно*. 

* - анонимно

Бэби-бокс

Родители должны заботиться о своих детях.

К сожалению, существуют случаи, когда матери попадают в тяжелые жизненные ситуации и им приходится, или они просто хотят отказаться от своего новорожденного ребенка. Чтобы не оставлять младенца где-нибудь на улице, во многих странах создана сеть бэби-боксов.

Бэби-бокс – это специальное место, где матери могут оставить своего ребенка вполне аннонимно.(анонимно) Он обычно находится на территории больницы или вблизи другого медицинского учреждения, чтобы медработники сразу смогли позаботиться об оставленном ребенке.

В настоящее время в Чехии есть около 60 бэби-боксов. Первый бэби-бокс был создан в 2005 году. С тех пор они помогли 92 младенцам.
P.S.: В Дечине я вышла зашла(пришла, пошла)на территорию больницы и старалась найти бэби-бокс. Найдя его, я прочитала инструкции и меня поразило, что они написаны на трех языках – чешском, английском и русском!

Посмотрите, пожалуйста, на мою фотографию. У меня вопрос: как мне писать «бэби-бокс»? В Интернете я нашла, что пишется как «бэби-бокс», а в Дечине, как вы видите на фотографии, использовали «бэбыбокс».

На фото это слово написано, конечно же, с ошибкой. Поскольку слово беби(как и слово бокс) - взято из английского языка, то пишется оно на русском также как слышится.

Варианты: бэби, беби, бейби(реже).

ну, а со словом бокс проще. Вариант всего один.