Hola, soy Athena de Hong Kong. (perfect)
Yo puedo hablar cantonés y japonés. ("puedo" is weird in this sentence)
Después (after what? it could be better "One day") me encontré con el Galeón Andalucía de Sevilla, empiezo amor ESPAÑA! (and my love for Spain started). 
Me gustaría aprender español! 

It'd be something like this:

Hola, soy Athena de Hong Kong. 

Sé hablar cantonés y japonés.
Un día me encontré con el Galeón Andalucía de Sevilla y empezó mi amor por ESPAÑA!
Me gustaría aprender español!

First notebook entry: Introducing myself

Hola, soy Athena de Hong Kong. (excelent)
Yo puedo hablar cantonés y japonés.

(that means "I can speak cantonese and japanese", but it sounds better without "can", right? but don't worry it's also correct this way)

Yo hablo cantonés y japonés. ( translate: "I speak cantonese and japanese" )

Después me encontré con el Galeón Andalucía de Sevilla y empiezo mi amor por ESPAÑA!

Después me encontré con el Galeón Andalucía de Sevilla y empezó mi amor por ESPAÑA!

Me gustaría aprender español! (excelent)

First notebook entry: Introducing myself

Hola, soy Athena de Hong Kong.
Yo puedo hablar cantonés y japonés.  <------------------------ Hablo cantones y japones (with contraction)
Después me encontré con el Galeón Andalucía de Sevilla, empiezo amor ESPAÑA! <-------- empezo el amor español¡¡¡¡  -------------------- Es la leche, Galeon es el puto amo ( with colloquial language from spain)
Me gustaría aprender español! .

In Spain the ppl say some like this:

Puedo hablar esañol y cantones, cuando me encontre con el Galeon Andalucia de sevilla, empezo mi amor ESPAÑOL.


You dont need use subjets in sentences to build sentences in spanish, just ir more formal