お久しぶりですね。

本当にごめんなさい！
イタリア文学の試験のためにずっとずっと勉強していましたから時間がありません。 

☞イタリア文学の試験のためにずっとずっと勉強して(いたので)時間があり(ませんでした)。
イタリアに天気が寒くて一昨日雪が降っていました。 

☞イタリア(は)◯◯◯寒くて(一日中 ？一昨日まで？)雪が降っていました。
今、大学に授業がありませんから家に休みます。

☞今、大学(は)授業がありませんから家(で)休(んでいます)。  
疲れましたと残念ですが流感もかかっています。

☞疲れ(ているし、)残念(ながら)流感(にも)かかっています。  
じゃ～また。

I think your Japanese is almost good.When we talk about the weather in Japan , Almost Japanese don't use the word 天気 with 暑い 、寒い 、涼しい 

(e.g. 天気が暑いので・・・ ) So you should use like this ,(日本は寒いので、・・・、ハワイは暑いけれど、過ごしやすいです。・・・) 

I hope this advice helps you ! See-ya .