There are some mistakes on previous correction.

私の猫ちゃんです。

I have got a cat.
私は猫を持飼っている。

My cat is black and white (color).
私の猫の毛色は黒と白です。

or 私の猫は黒白です。
 
He's name is Barshik.
私の猫のなまえ名前わはバルシク(Barshik)です。

My Barshik like eat a fish.
私のバルシクは魚が大好きです。

He like sleep.
猫バシルクは眠るのが大好きです。

I like my cat. ^_^
私のは猫バシルクが大好きです。

Usually we don't say "私は私の猫が大好きです" if his/her name was already showed. Just say like this:私は猫を飼っています。名前はミルクです。ミルクは牛乳が大好きです。to avoid repeat. I don't know why he translated "my cat" into "あいつ" though, あいつ　is quite rough word. You may see this word on Manga or animation but you shouldn't use it. Besides, to be correctly it's not garammatical. in this case, it must be not あいつ but こいつ. If you say about your cat lovingly, "この子" is better.

私の猫ちゃんです。

I have got a cat.
私は猫を飼（か）っている。

My cat is black and white (color).
私の猫の毛色（けいろ）は黒と白です。

He's name is Barshik.
私の猫のなまえはバルシク(Barshik)です。

My Barshik like eat a fish.
私のバルシクは魚が大好きです。

He like sleep.
あいつは眠ることが大好きです。

I like my cat. ^_^
私は私の猫が大好きです。