Tagebuch - 10.06.2020

Ich habe in Berlin seit vier Monate gewohnt. - That sentence's tense seems inspired by what you would write in English: "I've been living..." We don't do that in German. I think what you want to say is: "Ich wohne seit vier Monaten in Berlin."

Aber mein Deutsch ist noch schlecht. - The sentence is not wrong. From a stylistic point of view, however, I would not start a sentence with "aber". You can concatenate the sentence with the sentence before, just using a comma instead of a full stop, or use two sentences and say: "Mein Deutsch ist aber noch schlecht." (Not a real mistake, just helping you to "sound better".)

Ich beginne das Tagebuch zu schreiben. - Ich beginne, das Tagebuch zu schreiben. (Comma missing, even many Germans tend to drop this. Just a detail.)

Ich übe ein Schreiben, das ich heute lerne. - I'm not sure whether I understand this sentence. Do you mean: "Ich übe, das zu schreiben, was ich heute lerne."?

Ich denke, eines Tages werde ich mit Deutsch vertraut sein. - I'm sure you will! Good work! All the best, Michael