My family

 >저의 가족은 4명으로 모두 하와이에 있습니다. / 저는 가족이 하와이에 있고 모두 네 명 입니다./ 저는 가족이 하와이에 있는데 모두 네 명입니다.

어머니, 아버지, 할머니 하고(or 와) 여동생이 있습니다. 여동생은 부모님 하고 삽니다. 할머니께서는 한혼자 삽니다사십니다.(Polite)

그리고 할머니가 어머니 하고 자주 만납니다. 일주에 사흘,나흘 만납니다.

>그리고 할머니께서는 어머니와 자주 만나십니다. 일주에 사나흘은 만나십니다.

할머니 하고 어머니가 합창단에서 노래 합니다. 다음 년에 바티칸 시국에서 노래 할 것입니다. 저는 그곳에서 듣고 싶습니다.

>할머니와 어머니께서는 합창단에서 노래를 하십니다.  다음 해에는/내년에는 바티칸 시국에서 노래를 할 것입니다. 저는 그곳에서 할머니와 어머니께서 노래하시는 것을/할머니와 어머니의 공연을 듣고 싶습니다.

여동생은 치과 의사 사무실에서 일합니다. EDM 음악을 좋아합니다. EDM 콘서트에 자주 갑니다. 
>(치과의사 사무실 if she do official work in the hospital, it is right. but if she treats patient, just say 치과병원)

>여동생은 EDM음악을/EDM을 좋아합니다. 그래서 EDM 콘서트에 자주 갑니다.

>여동생은 EDM을 좋아해서 EDM 콘서트에 자주 갑니다.

비디오 게임도 좋아합니다. 그리고 가끔 합니다. 

>비디오 게임도 또한 좋아합니다. 그래서 가끔 게임을 하곤 합니다. 
아버지는도 비디오 게임을 좋아하십니다.

그리고 아버지가 비디오 게임을 한 만 합니다.컴퓨터로 러시아 사람 친구 하고 날마다 “Heroes” 게임을 합니다

>그래서 아버지께서는 비디오 게임을 많이 하십니다. 컴퓨터로 러시아인 친구하고 날마다   “Heroes”라는 게임을 하십니다.

저는 비디오 게임을 좋아합니다. 그리고 최근가끔 합니다. 유튜브로 비디오 게임을 보입니다.

>저도 비디오 게임을 좋아해서 최근들어 비디오게임을 가끔 합니다. or 저도 비디오 게임을 좋아합니다. 그래서 최근들어 비디오게임을 가끔 합니다.

>그리고 유튜브로 비디오 게임을 봅니다. or 그리고 유튜브로 비디오 게임을 보기도 합니다.

It needs to add some polite tense, and conjunction. But overall, you did a great job :D  I could understand everything that you want to say.  fighting~!