こんにちは。これは、私がいう場合を考えて訂正してみました。参考にしてみてください。

Hello, there blow are MY way to say. Please use them as references.

１．急に：温泉で、急に私の気分が悪くなって、気を失った。

→ 私は温泉で急に気分が悪くなり、気を失った。
２．内容：こづつみの内容は私の友達がアメリカから送った食べ物だった。

 → I normally say 小包の中身, so you could say

→ アメリカの友達が送ってきた手紙の内容は、とても感動的だった。
３．翌日（よくじつ）：私はアメリカから日本へ帰ったとき(past tense)、月曜日にひこうきに乗って、翌日に日本に着くはずです。(assuming?future?)

 → 私はアメリカから日本へ帰る時(present tense)、月曜日に飛行機に乗って、翌日には日本に着くはずです。
４．こまかく/きざむ：にんにくをこまかくきざんで、手がにんにくのにおいがするのです。

 → にんにくをこまかくきざんむと、手がにんにくのにおいがします。
５．料理してから、ほとんど皿を洗わなくて、しまわないんです。

 → Did you mean ,"After cooking, I normally don't do dishes nor put them away."? If so, 料理した後、たいてい皿を洗わないし、片付けもしません。
６．夕食のおかず：夕食のおかずをいつも自分で作ります。

 → I normally say this way. Because when you say 夕食, it includes おかず. So I would rather say 今晩の夕食のおかずは、xxxとxxxです。
７．栄養（えいよう）：友達は栄養の勉強して、４月から小学校で働きます。(I can't see the tenses here.)

 →友達は栄養学を勉強し(finished?)、4月から小学校で働きます(future tense?) or 4月から小学校で働いています。？(Has she started working yet?) 
８．はかり：カロリーを数えていたとき、はかりで材料をはかった。

 →  数える means count, so you could say カロリーを計算していた時、計りを使って材料を計った。
９．調味料：メキシコの調味料は日本のがちがうので、メキシコ料理が恋しい。

 → メキシコの調味料は日本のとちがうので、メキシコ料理が恋しい。 or you also could say メキシコと日本の調味料が(は)違うので、メキシコ料理が恋しい。
１０．酢（す）：ショウジョウバエがいるとき、酢とさとうをボールに入れて、ラップをかぶせて、ラップにあなをして、その虫が死ぬ！

 → ショウジョウバエがいるとき、酢とさとうをボールに入れて、ラップをかぶせて、ラップにあなをすると、虫が死ぬ！ 
１１．むく：コンタクトをかけていたとき(past tense?)、玉ネギの皮をむいたら、泣かないんです。

 → コンタクトをかけながら、玉ネギの皮をむいたら、泣かないんです。
１２．め：ケーキを大きめに切りましょう。 → 10/10
１３．幅（はば）：キヌアサラダを作るとき、野菜を小さい幅に切ります。

 → I would say 1cm幅 or 5cm幅, but 小さい幅 , don't know why, but it seems a bit odd for me. I think you still could say that, but I just say 小さめ or 細かく or 薄く
１４．くるむ：玉ねぎをラップとホイルでくるめば、においが強くないんです。 

→ 玉ねぎをラップとホイルでくるめば、においがおさまります。