I’m sorry but the first sentence was a bit misleading. I read it as you got an idea for an already existing project. Maybe you want to be careful about word choices and sentence structures when to deal with abstract matters.

今週、僕はデザインに関する新しいアイデアを思いついた。ノン・プロフィット(非営利)のプロジェクトで、なまえは「24-1-12」。毎月、デザイナーは非営利団体のためのアイデアをまとめあげ、24時間以内にそれを完成させるというものだ。

思いつく means “come up with”. まとめあげる means, in this context, “get it ready to be carried out”. BTW, the idea sounds awesome. Are you going to carry it out in real?

非営利の思考

今週は僕はデザインの非営利の思考を思った。その思考のなまえは24-1-12。 すべての月はデザイナーは他の非営利団体のためのプロジェクトを終わって24時間でそれをした。

This week I thought of a non-profit idea. It's called 24-1-12. Each week, designers complete a project for a non-profit company and finish it in 24 hours.

今週、僕は非営利思考について考えた。それは24-1-12とよばれます・毎月デザイナーは非営利団体のためプロジェクトを完成させ24時間以内に終らせます。

well done.

非営利的な思考

今週、僕はデザインの非営利的なアイディアを考えた。

24-1-24と呼ばれる。

毎月デザイナーは非営利企業のためにプロジェクトを24時間以内に完成させる。(Each month designers complete a project for a non-profit company within 24 hours. )

毎月デザイナーは非営利企業のためにプロジェクトに取り掛かり24時間以内に完成させる。

(Each month designers start a project for a non-profit company within 24 hours. )

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的 is optional, but I think it's easier to understand with it. 

non-profit organization:非営利団体

non-profit company:非営利企業

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Quick quesiton, "complete" and "finish" in the sentence might be redundant in meaning?