Qual'è la differenza tra meglio e migliore, o tra peggio e peggiore?

Migliore e peggiore sono aggettivi, significano rispettivamente "più buono/il più buono" e "più cattivo/il più cattivo". Come aggettivi si riferiscono a sempre a nomi o pronomi. Si possono usare sia come comparativi (migliore di../peggiore di..), sia come superlativi (il migliore/il peggiore).
Si possono usare riferiti direttamente al nome (funzione attributiva), o dopo il verbo "essere" (funzione predicativa).

- Il migliore studente è Luca. (superlativo, in funzione attributiva: migliore-->studente (in generale) )
- Luca è il migliore. (superlativo in funzione predicativa: Luca-->essere-->migliore (in generale) )

- Il mio cane è migliore del tuo. (comparativo, in funzione predicativa: cane-->essere-->migliore (del tuo cane) )
- Il cane è il migliore amico dell'uomo (superlativo, in funzione attributiva: migliore-->amico (in generale, rispetto a tutti gli altri) ).

- Ieri ho mangiato la peggiore cena della mia vita. (superlativo, funzione attributiva: peggiore-->cena (nella mia vita, in generale) ).
- La cena di ieri era peggiore di quella di oggi. (comparativo, funzione predicativa: cena-->essere-->peggiore (della cena di oggi) ).

Meglio e peggio sono avverbi, significano rispettivamente "più bene" e "più male", e come avverbi sono generalmente riferiti a verbi (ma non solo). Si usano come comparativi (meglio di.../peggio di..).

- Marco cucina meglio di me. (cucinare-->meglio (di come cucino io) )
- Io lavoro peggio dei miei colleghi. (lavorare-->peggio (di come lavorano i miei colleghi) )

Il secondo termine di paragone può anche non essere scritto.
- Voglio conoscerti meglio. (conoscere-->meglio (di come ti conosco ora) )
- Non può cantare peggio. (cantare-->peggio (di come cantano gli altri) )

Attenzione a queste frasi:
Correre è meglio che camminare (correre-->essere-->meglio)
E' meglio essere soli che male accompagnati (essere soli-->essere-->meglio)

Meglio tardi che mai! (qui meglio è riferito a un altro avverbio, invece che a un verbo: tardi-->(essere-->)meglio))
Voglio solo il meglio per te! (il meglio = avverbio in funzione di nome).
La situazione volge al peggio (il peggio = avverbio in funzione di nome)