- Do you remember me? : 저를 기억 하세요? - We didn't talk in a while! : 우리는 얘기 나눈적 없어요. (우리는 얘기한적 없어요) - I hope you are doing well. : 당신이 잘하길 바래요. ('당신'이라는 말은 잘 사용하지 않는 말이기에 '잘하길 바래요' 가 좋을듯) - Happy new year! : 새해 복많이 받으세요..

- Do you remember me? 저 기억하시겠어요? or 저 기억하시죠? - We didn't talk in a while! 한동안 얘기 나누지 못했네요. or 오랜만이네요. - I hope you are doing well. 하시는 일이 잘되시길 바래요. or 잘 지내세요. - Happy new year! 새해 복 많이 받으세요. or 행복한 새해가 되시길 바래요.

I would translate "We didn't talk in a while!" to "연락 안 한 지 좀 되었네요."