I am confused whether its 誕生日「に」 or 誕生日「の」 They're very different. 誕生日に Adverb. Your case. 誕生日に菓子を買う。 誕生日に遊びに行く。 誕生日に父に時計をもらいました。This is correct. 誕生日の This can make a noun phrase. 誕生日の歌 誕生日のお祝い 歌 and お祝い are nouns. See how they're different from the three cases above.

私は誕生日「に」父「に」時計をもらいました。 Is correct. But because "に" overlaps , 私は誕生日「に」父「から」時計をもらいました。 is better.

If you want to say "I got a clock from my father on my birthday." →私は誕生日「に」父に時計をもらいました。