"Que" en casos como este indica un mandato. En tu ejemplo es una forma de insistir. Es como decir: "te estoy diciendo que me dispares", aunque en ocasiones no necesita ser una repetición. Un paciente puede decir "Que venga la enfermera lo antes posible". Evidentemente, es mejor decir "por favor, que venga..." o con exclamación (más fuerte) ¡Que venga la enfermera, ahora mismo! ¡la necesito urgentemente! Espero haberte ayudado un poco.

¡Hola! "...Que..." en el contexto al que haces referencia es utilizado como pronombre relativo a persona. Por consiguiente, esa orden repetitiva es dirigida a una persona que ya se sabe quien es, por eso, no es necesario repetir su nombre. Pues, las dos personas están presente en el momento. Ejemplo: Estamos los dos presente en la sala de una casa, tú tienes la pistola apuntando a mi persona y yo te doy la orden "¡Dispárame! ¡Que me dispares!". No tengo porque decir tu nombre, ya sé quien eres. (Es sólo un ejemplo para que entiendas Ja ja ja) Por eso no es necesario colocar nada ante del "..Que..". Espero que lo escrito te ayude. Hasta pronto :)

I am still chewing on this page that explains the many uses of Que. I wish it was in English. http://webs.ucm.es/info/circulo/no3/porroche.htm

El verbo omitido es decir: te digo o te estoy diciendo que... Aclararte que no solo sucede esto con las órdenes repetidAs, también cuando repites cualquier tipo de frase. Por ejemplo: -Hace mucho frío -¿Qué (dices)? -Que hace mucho frío

Coincido con Gloria.