se pueden usar ambas: soy un "peluquero" o un "barbero"

Por puntualizar. barbero es una persona especializada en cortar, peinar y arreglar barbas. Por lo tanto si dices barbero se entiende que solamente trabajas con hombres como clientes. peluquero es una persona especializada en cortar, peinar y arregla el pelo de la cabeza. Por lo tanto sus clientes son unisex. En resumen se usa indistintamente pero normalmente barbero o barbería se usa para especificar que solamente trata con clientes masculinos.

Si, ambas son correctas: peluquero y barbero. En Argentina es mucho más frecuente decir peluquero. Lo mismo pasa con peluquería y barbería.