결론부터 말씀드리자면, '바뻐'는 틀린 표현이고 '바빠'가 올바른 표현입니다. 표준어에서는 어간의 끝 음절 모음이 'ㅏ, ㅑ, ㅗ, ㅛ' 등의 양성 모음일 때는 어미를 '-아'로 적고, 'ㅓ, ㅕ, ㅜ, ㅠ, ㅡ,ㅣ 등의 음성 모음일 때는 어미를 '-어'로 적습니다. 이를 '모음조화'라고 합니다. 그런데 'ㅡ'가 단어의 중간에 올 때는 'ㅡ' 앞의 모음이 무엇이냐에 따라 달라집니다. '아프다, 가냘프다, 고달프다'처럼 양성 모음(아의 ㅏ, 냘의 ㅑ, 달의 ㅏ)이 오면 '아파, 가냘파, 고달파'가 되고, '슬프다, 기쁘다'처럼 음성 모음(슬의 ㅡ, 기의 ㅣ)이 오면 '슬퍼, 기뻐'로 활용합니다. 질문하신 '바쁘다'의 경우에도 제1음절이 양성 모음 'ㅏ'이기 때문에 양성 모음 'ㅏ'와 결합하여 '바빠'가 됩니다. '바빠'를 '바뻐', '살아'를 '살어', '하고'를 '하구'로 발음하는 경우가 많은데 '바뻐, 살어, 하구'와 같이 모음조화를 어긴 것은 표준어로 인정하지 않습니다~^^