En gran parte de Latinoamérica va primero el apellido del padre y luego el de la madre (en Brasil va primero el apellido de la madre). En tu ejemplo "si Lucía Rodríguez Sánchez se casa con Alberto González Frías" (Corregí el apellido), los niños serán González Rodríguez (Manuel González Rodríguez o Lucía González Rodríguez). De los apellidos compuestos (separados por un guión "-"), depende de muchas cosas, como por ejemplo mantener "vivo" el apellido de la madre. Otras personas lo hacen como un homenaje al padre adoptivo (En Chile está el caso de Marco Antonio Enríquez-Ominami Gumucio, su padre biológico tenía el apellido Enríquez y su padre adoptivo Ominami y para homenajearlo se puso el apellido de su padre adoptivo). Normalmente las personas son conocidas por el primer apellido. En EEUU la esposa adquiere el apellido del marido al casarse y el apellido de ella se pierde, aunque no sé si puede mantener su apellido original. Espero que te haya servido.

si, aquí en México funciona de las mima manera que en España, en el ejemplo que pusiste sus hijos tendrían los siguientes apellidos Conzales Rodriguez En el caso cuando una persona dice su apellido doble es porque como el papa y la mama comparten el mismo apellido