Usually, 再 is used to express the second time. other differences in modern Chinese is not important.

又，it expresses repeating or continuing,it represent one time and it is the same thing. 再，it stand for second or more times ,and 再 sometimes like more in English. 又and再 have different means in different sentences. But I think the frequently used are enough，only need to remember those used.

I guess you want to know the usage of "again" in chinese. 再 is often used for something that has happened . 又 is often used for things that have not happened yet.

他刚才写了一个字，现在他又写了一个字。 用"又“的时候，表示已经动作重新发生。 说明用”又“的时候都是表示过去发生的事情，一般要加上”了“。 我刚才写了一个字，我现在再写一个字。 表示我现在马上要写一个字，是将来马上要发生的事情。 又和再的区别就是使用的”时间“的问题，一个表示过去，一个表示将来。

又 yòu 表示重复或继续，指相同的：今天又下雨了。 表示加重语气、更进一层：你又不是小孩！ 表示几种情况或几种性质同时存在：又高又大。 再加上，还有：又及。十又五年。 表示转折：这个人挺面熟，一下子又想不起来他叫什么。 再 zài 表示又一次，有时专指第二次，有时又指多次：再次。再衰三竭。 表示重复或继续，多指未然：再说。 表示更，更加：再勇敢一点。 表示承接前一个动作：想好了再写。 from online dictionary http://xh.5156edu.com/html3/2557.html