Arrumar é sinônimo de arranjar e é usado quando você quer expressar a intenção de obter alguma coisa, mas você ainda não sabe como. Por exemplo: Vou arrumar a ferramenta necessária para fazer o conserto. Neste exemplo você pode ainda não saber qual é a ferramenta necessária ou onde ela está. Pegar já expressa o sentido de que você deseja obter algo e que já possui todas as condições para obtê-lo. Se na sentença acima, você trocar a palavra arrumar por pegar, significa que você já sabe qual é a ferramenta necessária e onde ela está, bastando para isso somente se deslocar até o local e pegá-la.