Hello Francesca, 私の話を終えたとき、Correct! 友達はわらいはじめまして、is formal expression, so 友達はわらいはじめて is better in this case. 「きみはほんとうのんきい！」と言いました is understandable, but I feel this expression is slow tempo. It is OK if you show it. Most Japanese will say きみはほんとのんき！ Note that there is not the word のんきい; のんき is correct. のんき also means のんきな人. So, you do not need to put い for making adjective form. It is OK if you use い for just sound. Thank you.

YouDS-san gave you a good answer. I just want to add some explanation. Mostly we use a dictionary form verb for て-form. We can add politeness using a ます-form verb in a predicate like this: 図書館に行って、べんきょうしました。 （としょかんにいって、べんきょうしました。） I went to a library and studied. 合格の知らせを聞いて、彼女は泣いて喜びました。 （ごうかくのしらせをきいて、かのじょは　ないてよろこびました。） Hearing that she passed the exam, she cried in happiness. Another tip. The title of your question should be この'文章'は正しいですか.