"Addieren" is only used for adding up figures (Zahlen addieren) in mathematics: Will man zwei Zahlen addieren, schreibt man dazwischen ein Pluszeichen: 17 + 4 = 21 "Hinzufügen" is used in most other cases, where you would use the English "to add". Salz hinzufügen. Add salt. Jemanden als Freund in Facebook hinzufügen. Add someone as a friend in Facebook. Weitere Beispiele: https://www.dict.cc/?s=hinzufügen

You only use "addieren" in a mathmatical context. "Hinzufügen" can be used in many ways. For examples: "Addiere 5 und 2." "Ich habe in der Schule addiert" but it is not used that often. Hinzufügen can be used if you put one thing into an other. "Ich füge Vodka hinzu." "Hast du schon den Vodka hinzugeführt?" "Ich habe ein neues Auto meiner Sammlung hinzugefügt." Hope that helps.