Está bien tal y como lo tienes. Existen algunas variantes a la canción, cada cual la canta un poco a su manera, y la que tu pones es una de ellas. Otra variante muy usada en España es: Cumpleaños feliz Cumpleaños feliz Te deseamos todos Cumpleaños feliz.

en colombia es cumpleaños feliz te deseamos a ti cumpleaños_______ ( nombre de la persona a quien se canta) que los cumpla feliz que los vuelva a cumplir que los siga cumpliendo hasta el año ( 3000 o 10000, antes se decia 3000 ahora mucha gente dice 10000, y despues se cuentan los años algunas veces)

Aquí en Venezuela es así: Ay, qué noche tan preciosa es la noche de tu día, todo lleno de alegría en esta fecha natal. Tus más íntimos amigos esta noche te acompañan, te saludan y desean un mundo de felicidad. Yo por mi parte deseo lleno de luz este día, todo lleno de alegría en esta fecha natal. Y que esta Luna plateada brille su luz para ti, y ruego a Dios porque pases un cumpleaños feliz. Cumpleaños feliz Te deseamos a ti Cumpleaños (nombre de la persona) Cumpleaños Feliz.

Cumpleaños feliz, Cumpleaños feliz, Cumpleaños (nombre), Te deseamos a ti. Queremos que partan la torta, (repetir 3 veces más), sino ya nos vamos de aquí

Así como dicen en los anteriores comentarios, hay varias versiones de la canción del cumpleaños dependiendo de cada país. La que tú pusiste está bien escrita, así que mucha suerte cuando se la cantes a tu amigo.