まず、原文に間違いがあります。ナ形容詞（形容動詞）の名詞化のために「大切」に「さ」を加える必要があります。 「戦争体験者のA氏は、平和の大切[さ]を各国の人々に訴えている。」 個人的には「訴えている」のままが一番自然で、「宣伝」も「主張」もどちらも少しぎこちない気がします。 次に意味の違いですが、 「主張」－＞信念があって、それを強く言い続けること。 「宣伝」－＞（例えば商品のテレビ広告のように）事実より大袈裟に言いふらすというニュアンスです。とくに企業が商品を広告するときにつかうことが多いようですが、主義・主張についても使われることがあり、そのときは、政治宣伝、プロパガンダ、嘘も交えた大袈裟な話、という悪いニュアンスを少し含むことが多いように思います。 というわけで、平和活動をすることは良いことだという前提に立てば、「宣伝」という言葉は相応しくありません。

宣伝する は物を広めるときに使います。 人の考えを宣伝するとは言いません。 例えば 私の会社の商品を宣伝する。 主張する は人の考え(特に自分の考え)を人に伝える時に使います 彼は彼女が正しいと主張した。 この場合、訴える はAさんが自分の考えを伝えようとしているので主張するが正しいです