They both turn verbs into nouns. So grammatically they're interchangeable, except for some idiomatic expressions that only use -기. (~하기 싫어 I don't want to ~, ~하기 어렵다/힘들다 It's difficult/hard to~) That said, ~기 sounds way more formal than ~는 것. I would not use -기 unless I'm making a list of things to do. For example, <오늘 할 일> 1. 공부하기 2. 청소하기 3. 쇼핑하기 ... you see the point.

"verb stem -기" is a noun form of verb in Korean, like the gerund, "-ing" In English, and "-는 것" is similar with "to-infinite" in English. Although two of both are used for noun phrase, their usages are different from each other.

그 여자는 아이스크림을 먹기 싫어요. X 그 여자는 아이스크림을 먹기 싫대요. O "-대요, she said..." 나는 아이스크림을 먹기 싫어요. O 그 여자는 아이스크림을 먹는 것이 싫어요. X 그 여자는 아이스크림을 먹는 것이 싫대요. O 나는 아이스크림을 먹는 것이 싫어요. O 나는 아이스크림을 먹기를 싫어해요. O 그 여자는 아이스크림을 먹기를 싫어해요. O 나는 아이스크림을 먹는 것을 싫어해요. O 그 여자는 아이스크림을 먹는 것을 싫어해요. O