Либо "больной попросил", либо "больная попросила". Выражение "лечиться, так уж лечиться" означает то, что больной собирается лечиться по-настоящему, чтобы получить положительный результат, а не просто для того чтобы отметиться. Выражение, "делать что-либо , так уж делать это" ("работать, так уж работать", "отдыхать, так уж отдыхать" итд) означает, что каждое дело следует делать хорошо, раз взялся за это дело.

Лечиться, так уж лечиться = если нужно, значит нужно. Эмоционально это близко к "раз нужно, придется потерпеть". То есть пациент ничего не хочет, но уж если доктор сказал, то будет конечно лечиться.

а есть еще песня: Я помню, давно учили меня отец мой и мать. Лечить-так лечить, любить-так любить, Гулять-так гулять, стрелять-так стрелять. Но утки уже летят высоко, Летать-так летать, я им помашу рукой. (текст песни - Александр Розенбаум)

в этом случае вторая половина предложения придает эмоцианольность предложению, то есть благодаря ей мы видим, что пациент полностью готов лечится

уж - не обязательно использовать, это устаревшая частица. Можно сказать просто - Лечиться, так лечиться.