"Давайте поможем" - "Let's help". "Будем надеяться" - "We'll hope". - You can say "Мы будем надеяться" as well as without "мы".

"Давайте поможем" - призывает к действию - тот, к кому обращаются, может (должен) предпринять какие-то действия, чтобы помочь кому-либо. "Будем надеяться" - ожидание какого-то события, не требует никаких действий.

"давайте поможем" - это повелительное наклонение (imperative) "будем надеятся" - это изъявительное наклонение, будущее время (indicative in future)