Nice try. There are some unnatural phrasing and word orders. Here's a smoother way to say the same thing. 저는 한국이 정말 좋아서 부모님과 한국에 대한 이야기를 하는 것을 좋아해요 [or 한국에 대해 자주 이야기해요]. 저 때문에 지금은 부모님도 저와 함께 한국 드라마를 보세요. 부모님이 이전보다 한국에 대해 궁금해하게 되었어요. 너무 좋아요! * -아/어 버리다 indicates one time action and its resulting state. Here, the present tense 보세요 (= 보시어요) is better (보시다 is a raised/honorific form of 보다, used for someone you respect).

전 정말 좋아서 부모님과 한국에 대한 자주 이야기를 하는 것을 좋아해요. 전 한국 드라마를 정말 좋아해서 부모님과 한국에 대해 자주 이야기를 하는 것을 좋아해요. you need to mention what it is. ex) 한국을 or 한국 드라마를 지금은 저 때문에 부모님은 저 함께 한국 드라마를 봐 버렸어요... 지금은 저 때문에 부모님이 저와 함께 한국 드라마를 보시게 되어버렸어요... sounds more natural like this hope this was helpful!