1) разница в грамматике Пускать: Пусть он идет = Пускай он идет= let him go Позволять: Я позволяю ему идти (Я разрешаю ему идти) = I give a permission to him to go 2) разница в значении Позволять - разрешать, to authorize Пускать - let Пускать - еще разговорный вариант глагола "разрешать" - она меня не пускает гулять (то есть не разрешает мне выходить на улицу гулять). Тогда здесь грамматика как у глагола "позволять"

"Позволить" используется с инфинитивом. Это слово значит "to allow [to do something]", "to give a permission". Когда глагола в неопределённой форме нет - он всё равно подразумевается. Пускать/пустить может значить 1. 'let someone in': "пустить в дом" "пустить переночевать" 'let someone in [the house So That he/she could] spend a night here]' cf.: "позволить переночевать" 'allow to spend a night'. 2. let someone/something free 3. launch пускай, пусть 1. пожелание let they do what I want. 2. согласие let they do what they want.

Слово "пускай" всегда будет вначале. Этот глагол всегда будет с неопределенным лицом. Например, пускай он идет. Здесь не понятно, кто ему разрешил идти. Глагол "позволять" всегда будет определен, кто совершает это действие. Например, Я позволил ему идти. Я( что сделал?) позволил... или Ему позволили идти( здесь упущено местоимение "они").

Эти слова по сути означают одно и тоже. Только "пускать" чаще разговорная форма, а "позволять" более официальная. В обыденной речи большинство говорит: Пусть он войдет (а не позволь ему войти/разреши ему войти) или пускай он войдет, одно и тоже.

let - пусть-пускать. Пусть все идет на самотек. Пускай он делает, что хочет: хочет работает, не хочет пусть не работает, дело его. close to allow - позволять - разрешать. С вашего позволения, я пойду домой. Позволь спросить, откуда ты это знаешь? Я позволил ему посидеть за компьютером.