모방하다 and 따라하다 have almost same meanings. But 모방 is chinese character and 따라하다 is original Korean character. Additionally 모방 can be used as noun but 따라 can't.

모방하다 : 다른 것을 본뜨거나 본받다 ( to imitate, copy, model, (formal) emulate ) 남의 작품을 모방하다. 부모의 행동을 모방하다. 일본의 제도를 모방하다. 따라하다(x) 따라 하다(o) : 따르다 + -아(서) 하다 -> 따라(서) 하다 따라 하다 : 남이 하는 대로 같이 하다 ( to follow, imitate, copy; (발음 등을) repeat (after)) 가수의 춤을 따라 하다. 선생님의 발음을 따라 하세요.