"abtrocknen" usually describes the process of drying something manually, for example the dishes: "Bevor ich gehe will ich noch schnell die nassen Teller abtrocknen." Or when you take a shower: "Nach dem Duschen habe ich mich abgetrocknet." "vertrocknen" on the other hands happens without any direct action from a person (normally); like plants that dry out when you don't water them over a couple of weeks. "Weil ich die Blumen zwei Wochen nicht gegossen habe, sind sie vertrocknet."