Les deux sont corrects, dépendamment de la situation: - on se promène sur le bord de mer. - on allait au bord de la meeeeerrr (Michel Jonasz) :)

On utilise généralement : le bord de la mer et au bord de la mer. — Ils passent toutes leurs vacances au bord de la mer. — J’aimerais un jour vivre au bord de la mer. Mais on entend très souvent aussi : le bord de mer et en bord de mer. — Rêvez-vous de passer vos vacances en bord de mer ? — On n’est pas en bord de mer, ici, les touristes sont rares. Il est difficile d’établir une distinction précise, mais on peut supposer que l’expression « bord de mer » est plus récente ; il se peut qu’elle vienne des publicités touristiques, qui voulaient trouver une formule brève et efficace pour vendre des vacances.