오해하다, 이해하다

    오늘 날씨도 좋은데 공원에서 산책할래? or 오늘 공원에서 산책하는 거 어때?
나: 싫어.
가: 오늘 왜 이래?

    왜 그래? since 오늘 왜 이래 soudns a little strong as a response in this situation. 
나: 어제 여자랑 극장에 간 걸 봤어. 누구야?
가: 아, 오해하지 마. 사촌이야.
나: 믿어도 돼?

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가: 선생님, ‘’같이’’하고 ‘’함께’’는 차이점이 뭐예요?
나: 아, ‘’같이’’는 말할 때 많이 사용하고 ‘’함께’’는 쓸 때 많이 사용해요.
이해했죠?
나: 아, 그렇군요. 설명해 주셔서 감사합니다.

Almost perfect. It doens't have any grammar error, so I just added several suggestion into more colloquial one.