Хорошая погода

(Я живу в долине, а иногда холодная погода.) Я живу в долине, где иногда бывает холодно. Я живу в долине, где иногда может быть холодно. 

Животные играют на пастбище. У меня есть овца по имени Рейчел и она прыгает очень высоко. Моя собака бежит.

Животные играют на пастбище: моя овца по имени Рейчел высоко прыгает, а моя собака бегает. 

1) it's better to use the colon as the following phrases explain how exactly they were playing.

2) бегать because I think your dog was running in different directions but not in one way

Все счастливы.

Хорошая погода.

Хорошая погода

Хорошая погода

In my opinion you've made only two mistakes. Everything else is a matter of preferences or style. Good job!

About confusing verbs бежать - бегать

Actually we have a lot of such kind verb pair (motion verbs) e.g. лететь - летать (to fly), идти - ходить (to walk), плыть - плавать (to swim), нести - носить (to carry), везти - возить (to carry)

The first verb of the pair (БЕЖАТЬ)

a) describes movement in a specific direction (Собака бежит домой = The dog is running home (=towards its home)) or in one way direction (Собака бежит по полю  = The dog is running through the field)

b) describes one-time movement or movement at the moment = Continuos Tense (Cейчас собака бежит = Right now the dog is running)

The second verb of the pair (БЕГАТЬ)

a) describes movement without any direction or in different directions (Собага бегает по полю = The dog is running on the field)

b) describes repetitive action= Simple Tense  (Каждое утро моя собака бегает = Every morning my dog runs)

c) describe potential possibility, always true  things = Simple Tense (Любая собака может бегать, но не может летать = Any dog can run but can't fly // Все собаки бегают = All dogs run )

So, to understand the difference in usage try to imagine two different situations.

First one. You are looking at the concentrated and  busy dog which is running somewhere along a road minding its own business. In Russian it'll be Собака (сейчас) бежит по дороге. 

Second one. You are looking at the dog which is running on a road, sniffing the traces, then stopping, then running again (maybe in another direction). Maybe it's lost and looking for its master or maybe it has nothing to do. In Russian it will be Собака (сейчас) бегает по дороге.