안녀하세요!　--> 안녕하세요? I think this is just a typo :) 

내 이름은 "게이티"입니다. --> 내 이름은 케이티입니다. (Maybe 케이트 is even better because that sounds more familiar to most Koreans, and moreover, there is a Korean telecommunication company 'KT' which could sound exactly like 케이티. And their reputation is not so great...)

내 한국어 이름? 없어요. 한국어 말 못해요. 

--> 한국 이름이요? 없어요. 한국어 말은 아직 못해요. (slightly changed for some nuances)

한국어를 말을 주세요!

---> Honestly I'm not exactly sure what you mean. Maybe "Please talk to me in Korean?" or "Teach me Korean"? the former: 한국어로 말을 걸어 주세요  / the latter: 한국말 가르쳐 주세요

Have a great day!

- Bill

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안녕하세요!

내 이름은 "케이트"입니다. 한국 이름이요? 없어요. 한국어 말은 아직 못해요. 한국말 가르쳐 주세요