私の今日

こんばんは。

ここ、シカゴはあらしがあります。（＝シカゴはあらしです）
てんきがわるいです。

はれてほしいです。

- 私の今日

I don't think we say "私の今日" to talk about what happens on the day or what the weather is like.. Looking at the content of the note, you can say "今日のてんき" or "シカゴの今日のてんき" or "シカゴのてんき" etc :) But the title is grammatically perfect!!

- こんばんは。

Perfect!

- ここシカゴであらしがあります。

We don't usually use ある for weathers. In this case you can say "ここシカゴはあらしです。" or "ここシカゴにあらしがきています。" . I guess there are some more ways to say but just putting です will be ok as in the first one. For the typhoon / hurricane / storm, you can also use くる (come; きている = "is coming" but in japanese it also means that it's already here) as in the second one.

"ここ+ a proper noun of the place" is a good expression! Impressing!

※くもり(cloudy) / あらし / たいふう(typhoon) / ハリケーン (hurricane) / ゆき (snow) / あられ (hail) / あめ (rain)     + です

※For the good weather : いいてんきです

※Windy : かぜがつよいです (つよい : strong)

- てんきがわるいです。

Perfect!

- 私はたいようがほしいです。

In Japanese we say 私はたいようがでてほしいです. Might be confusing because there are two subjects, but who wants the sun out is 私 and what comes out (でる) is the sun. You can also omit 私 here since it's clear who wants the sun out (たいようがでてほしいです）

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今日のてんき

こんばんは。

ここシカゴはあらしです。てんきがわるいです。たいようがでてほしいです。

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てんき：天気

あらし：嵐 

たいよう：太陽