雨がふっている〜

今日から、毎日、私は何てこともないの話をかくける。
さいきんわたしがあまりにほんごをすかいないきずいかった。

--> さいきん私があまりにほんごをつかっていないときづいた。(to use = つかう / to realize = きづく)

先週、新しい本を買ったんだ。、日本語で読む勉強しています。(--> している。)

これは日本語で(ぶんしょうを)書く勉強です。(--> 勉強だ。) 

あした、友達と一緒にえのしまのビーチへ行きますけど(--> 行くが)、今の雨は本当にすごいな。２時間降ったている〜 (or 降り続いている。)
あめがふっても、どこかへいきたいんです。(--> 行きたいんだ。)今週、何もできなかったましたから、土曜日か日曜日にこのうちにで何か書きたい。(Since I didn't do anything this week, I want to write something during Saturday or Sunday.) 

あー、それとわたしのけいたいはくらこわれた　T＿T

*my suggestions:

No to mix up the formal and informal form is much better. So I made my suggestions with (--> ) 

Not to switch writing one word in hiragana and kanji is better, in this case, 私 and わたし, 行く and いく, 雨 and あめ, 降る and ふる.

Good job! If I understood wrong, please let me know. I hope my English isn't very bad and this helps you.