Good work and nice Korean writing.

I just currected few things as below.

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Yesterday

어제는 후에 비가 내려요.
Yesterday afternoon, rain fell.

어제 오후에 비가 내렸어요.

OR

어제는 후에 비가 왔어요
It rained yesterday afternoon.

어제는 비가 왔어요.

Which is more natural?^^

I prefer second one :)

비가 많았어요.
There was a lot of rain.

비가 많이 왔어요.

밖에 가야 됐어요 근데 너무 힘들었어요.
I had to go outside but it was so difficult.

밖에 나가야 했지만(했어요 + 하지만) 너무 힘들었어요.

집에서 있고 싶었어요 근데 학교 가야 됐어요.
I wanted to stay home but I had to go to school.

집에 있고 싶었지만(싶었어요 + 하지만) 학교에 가야만 했어요.

Yesterday

어제는 오후에 비가 내려요.
Yesterday afternoon, rain fell.

OR

어제는 오후에 비가 왔어요
It rained yesterday afternoon.

Which is more natural?^^

비가 많이왔어요.
There was a lot of rain.

밖에 나가야했지만 너무 힘들었어요.
I had to go outside but it was so difficult.

집에 있고 싶었지만 학교에 가야 했어요.
I wanted to stay home but I had to go to school.

wrong/correct

Yesterday

어제 저녁에(오후에) 는 후에 비가 내렸어요내려요.
Yesterday afternoon, rain fell.

OR

어제는 오후에 비가 왔어요
It rained yesterday afternoon.

Which is more natural?^^

비가 많이 왔어요.았어요.
There was a lot of rain.

밖에 나가야 했지만 됐어요 근데 너무 힘들었어요.
I had to go outside but it was so difficult.

집에서 있묵고 싶었어요 근데 학교에 가야 했어요.됐어요.
I wanted to stay home but I had to go to school.

Yesterday

어제는 후에 비가 내려요.
Yesterday afternoon, rain fell. 
OR 
어제는 후에 비가 왔어요
It rained yesterday afternoon.

Which is more natural?^^

: 둘다 어색해요....어제 오후에는 비가왔습니다. Yesterday afternoon it rained.
  (그런데 두 번째 문장의 '후'가 오후를 말씀하신그라면 두 번째거가 맞는거에요~)

비가 많았어요.
There was a lot of rain.

:비가 많이 "왔"어요(오다의 과거형이에요: 왔다)

밖에 가야 됐어요 근데 너무 힘들었어요.
I had to go outside but it was so difficult.

:밖에 나가야해서 너무힘들었어요.

(여기서는 but보다는 and, so라고 해야 자연스러운 문장입니다.)

(그리고..밖에 나가야 했어보다 '외출'해야 했어요 라고 한다면 더 좋을 거 같아요)

집에서 있고 싶었어요 근데 학교 가야 됐어요.
I wanted to stay home but I had to go to school.

:이 문장은 나름 괜찮은 것 같네요!