vorschlagen = einen Vorschlag machen; etwas empfehlen (z.B. ins Kino zu gehen, Sport zu machen, etwas zu essen)

anbieten = ein Angebot machen (z.B. Kaffee anbieten, etwas zum Essen anbieten, Hilfe anbieten, Ware anbieten)

Manchmal sind beide ähnlich, wenn z.B. eine Bank Aktien verkaufen will, sagen sie "wir bieten Ihnen Aktien an", oder auch "wir schlagen Ihnen vor Aktien zu kaufen" je nach dem, wie es wirken soll.