Hace tres años que mi familia y yo fuimos para Nueva York para ver las celebraciones de la Víspera del Año Nuevo. Nos quedamos en un apartamento que estaba sólo una cuadra de Times Square por cuatro días.

Hace tres años que mi familia y yo fuimos a Nueva York para ver las celebraciones de la Víspera de Año Nuevo. Nos quedamos en un apartamento que estaba sólo una manzana de Times Square durante cuatro días.
Observación:
- Lo correcto es "a Nueva York", la palabra "para" indica más un motivo o acción.
- En castellano/español, solemos decir manzana, no cuadra, aunque según tengo entendido allí se le llama cuadra, es más una opinión que una corrección.
- Cuando indiques el tiempo que estás en un sitio, utiliza durante, "por" es incorrecto.

En el último día del año por la mañana, la policía cerró Times Square y comenzó a hacer corrales para la gente para estar de pie hasta los fuegos artificiales comenzaron a medianoche.

El último día del año, por la mañana, la policía cerró Times Square y comenzó valló la calle para que la gente estuviera de pie hasta los fuegos artificiales, que comenzaron a medianoche.
Observación:
- No sé exactamente a que te refieres con corrales, un corral en España es donde se guardan las cabras. Un corro es un grupo de gente. Por eso he puesto "valló" que quiere decir que pusieron vallas.

No queremos estar de pie por doce horas sin baño y por eso celebramos esa noche en el Parque Central. Fueron muchas personas allí y a medianoche en punto comenzó una competencia de carrera por cinco kilómetros por el parque mientras hubo un gran espectáculo de fuegos artificiales.

No queríamos estar de pie doce horas, sin poder ir al baño y por eso lo celebramos en el Parque Central. Fueron muchas personas allí y a las doce en punto de la medianoche comenzó una carrera de cinco kilómetros por el parque mientras había un gran espectáculo de fuegos artificiales.
Observación:
- En el caso de "de pie por doce horas", no hace falta poner "durante", se puede omitir la palabra, se entiende correctamente sin ella.
- Poner "esa noche" es innecesario ya que se entiende que se habla de la celebración que ya has comentado antes.
- "a medianoche en punto" a mi personalmente me suena mal, no creo que esté mal dicho, pero no me gusta como suena. Es algo totalmente personal (creo).
- Competencia es cuando dos empresas compiten por ganar clientes (por ejemplo). En este caso sería una competición, sin embargo, con poner "carrera" sobra. En este caso, en vez de poner "por" para decir la distancia, he utilizado "de" que indica que el circuito de la carrera tiene cinco kilómetros.
- El tiempo verbal correcto sería "había" en vez de "hubo" en el caso de hablar de lo que ocurría mientras se hacía la carrera.

Fue una noche que nunca olvidaremos.

Tus textos me parecen muy interesantes, ¡cuentas viajes que me gustaría hacer!
Un saludo

La Víspera Del Año Nuevo

Hace tres años que mi familia y yo fuimos para ("Para" es correcto pero en España utilizamos "a") Nueva York para ver las celebraciones de la Víspera del Año Nuevo. Nos quedamos en un apartamento que estaba sólo una cuadra de Times Square por cuatro días.

En El último día del año por la mañana, la policía cerró Times Square y comenzó a hacer corrales vallar la plaza. para La gente para tendría que estar de pie allí hasta que los fuegos artificiales comenzaran a medianoche. (Esto es como yo he interpretado este párrafo)

No queremos Como no queríamos estar de pie por ("Por" es correcto pero en España lo hubiéramos dicho así:"estar de pie doce horas") doce horas sin baño y por eso decidimos celebrar esa noche en el Parque Central. Fueron muchas personas allí y a medianoche en punto comenzó una competencia ("competencia" es correcto esta palabra se utiliza en latino América. En España utilizamos la palabra "competición" ) de carreras por de cinco kilómetros por el parque mientras hubo había un gran espectáculo de fuegos artificiales.

Fue una noche que nunca olvidaremos. (Es correcta esta frase pero también la puedes decirlo así "Fue una noche inolvidable")

La Víspera de Año Nuevo

Hace tres años que mi familia y yo fuimos para a Nueva York para ver las celebraciones de la Víspera de Año Nuevo. Nos quedamos por cuatro días en un apartamento que estaba sólo a una cuadra de Times Square. 

En El último día del año por la mañana, la policía cerró Times Square y comenzó a hacer corrales acordonar la zona para donde la gente para estaría de pie hasta los fuegos artificiales que comenzaban a medianoche.

No queríamos estar de pie por doce horas sin poder ir al baño y por eso celebramos esa aquella noche en el Parque Central. Fue mucha personas gente allí y a medianoche las doce en punto comenzó una competencia de carrera por de cinco kilómetros por el parque mientras hubo había un gran espectáculo de fuegos artificiales.

Fue una noche que nunca olvidaremos.