Только одна вещь:

вы беспокоитесь о том, что я не могу хорошо следить за собой не смогу позаботиться о себе как следует.

Я думаю, твоя идея  - это 照顾 (заботиться).

Письмо родителям

Дорогие папа и мама：
Когда вы узнали, что я хочу поехать работать в Хайнань , вы целую ночь не сомкнули глаз. Извините меня!
Вы надеялись, что я буду жить с вами (я думаю,это  более правильно передает твою мысль) по окончании института. Я думал, что это не вызовет нареканий. Такова человеческая натура 
Я знаю, что вы не сразу согласились со мной именно потому, что вы беспокоитесь о том, что я не могу хорошо следить за собой
Не беспокойтесь, дорогие родители! На самом деле, я давно стал настоящим мужчиной, который может самостоятельно жить.
Дорогие папа и мама, верьте вашему сыну! Примите мой выбор!
 Ваш сын

Написано очень грамотно! Молодец! ;) 

Письмо родителям

Дорогие папа и мама：
Когда вы узнали, что я хочу поехать работать в Хайнань , вы целую ночь не сомкнули глаз. Извините меня! 
Вы надеялись, что  по окончании института  я буду рядом с вами .Я думал, что  вы не будете меня упрекать,но  такова человеческая натура .
Я знаю, что вы не сразу согласились со мной только ,потому что вы беспокоитесь о том, смогу ли я справиться без вас.
Не беспокойтесь, дорогие родители! На самом деле, я давно стал настоящим мужчиной, который может сам о себе позаботиться
Дорогие папа и мама, верьте вашему сыну! Примите мой выбор!
Ваш сын

Письмо родителям.

Дорогие папа и мама! 
Когда вы узнали, что я хочу поехать работать в Хайнань , вы целую ночь не сомкнули глаз. Извините меня!
Вы надеялись, что  по окончании института  я буду находиться рядом с вами (около вас) (по окончании института).  Я думал, что это не вызовет нареканий, но такова человеческая натура. 
Я знаю, что вы не сразу согласились со мной именно потому, что вы беспокоитесь о том, что я не смогу хорошо следить за собой 
Не беспокойтесь, дорогие родители! На самом деле, я давно стал настоящим мужчиной, который может самостоятельно жить.
Дорогие папа и мама, верьте вашему сыну! Примите мой выбор!
 Ваш сын.