お久しぶりです敬子さん。

長い間連絡してなくてごめんなさい。
元気です。敬子さんお元気ですか？私は元気です。はい天気のは寒いです。でも 私は寒さが好きです。

[ "天気は寒いです" is grammatically correct but sounds unnatural. We often say/write "最近、寒いです。"

"私は寒さが好き" is fine, but "私は寒いのが好き" sounds more natural. ]

私は9月にヘイバーヒルにひっこし移動しました。私はマンションを買いました。私の新しい家がをたくさん大好きです。仕事は非常に忙しかったですが、私は本当に私の仕事が好きです。敬子はさん、日本への旅行は素晴らしいです。

敬子さんは最近なにをしていますか? どのようにニューヨークはどうででのものがありますか？まだ日本語を教えていますか？はい、私は今年N4の試験受けるのです。

[ I am not sure about "どのようにニューヨークでのものがありますか" part. Could you explain? ]

しかし、私はずっとこれまで検討してきたので忙しかったです。デモ でも頑張ります。

久しぶりに手紙をもらってうれしかったよ。

お返事を待っています。
風邪を引かないで下さいなね。

敬子さんの時間を私に教えていただきありがとうございます。敬子さんは素晴らしい先生です！
★Good entry. You don't have to say "私は" or "私の" once you introduce a topic with "は".

私は9月にヘイバーヒルにひっこしました。マンションを買いました。新しい家が大好きです。仕事は非常に忙しかったですが、本当に仕事が好きです。 The first 私は works all the relating sentences afterwards.