Corrections:

*다음 주에는 제 친구의 뮤지컬 리허설에 매일 데려다 줘야 해요.

**저는 제 친구가 리허설을 할 동안 극장에서 봉사하거나 숙제를 할 예정이에요. 

It is okay to replace 리허설 to 연습 or 예행연습 (I'm assuming this is what popped up when you typed rehersal in Korean translator.  However, when we talk about musical rehersals, we simply say 뮤지컬 리허설 (not 뮤지컬 예행연습).  리허설 is one of those loanwords.  It is technically not "wrong" to say 예행연습, although noone uses that term in everyday conversation.)

Correction of the full paragraph:

이번 주에 정말 바빴어요. 월요일에 대학교 학기가 시작했어요. 저는 이번 학기에 작문, 수학, 역사학이랑 심리학을 들어요. 지금까지 수업들이 쉬워요. 역사학 교실에서 심리학 교실까지 걷기가 너무 힘들어요. 요즘 날씨가 너무너무 추워서 밖에 걷기가 싫어요. 요즘 눈이 많이 와요. 눈이 예쁘지만 눈이 올 때 밖에 나가고 싶지 않아요.
오늘은 제 어머니 생신이에요. 저는 엄마를 위해 저녁 식사를 준비했어요. 저녁 먹은 다음에 초콜릿 케이크를 먹었어요. 맛있었어요! 오늘은 좋은 하루였어요. 다음 주에는 제 친구의 뮤지컬 리허설에 매일 데려다 줘야 해요. 저는 제 친구가 리허설을 할 동안 극장에서 봉사하거나 숙제를 할 예정이에요.

2016년 1월 13일 일기

시작하다 isn't an exact equivalent to "to start/to begin". It behaves similar to "to initiate". The semester cannot initiate itself, but can be initiated.

교실 is class room up to high school; It's 강의실 in colleges.

더군다나: moreover

근래: lately (avoid repeating the same word 요즘)

정작: actually-ironically