Your original one is understandable except the last sentence. This is the faithful version to the original.

在留期間が更新されたので翌日に区役所に行って、保険証もすでに更新しました。ですので、郵便で郵送された保健証は返します。

You haven't sent back the received card yet so the last part shouldn't be the past tense.

在留期間が更新された翌日に区役所に行った際、保険証も一緒に更新しすでに新しいものが手元にあります。ですので、郵送された保健証はお返しします。

より自然な言い回しにしました。