雨が降ってしまいました。。。

今日は、雨が降っています。

ダウンタウンに(、)コンタクトを買いに行く予定だったけど雨を見た時に翻意しました。

ダウンタウンにコンタクトを買いに行く予定でしたが、雨を見てやめました。

(What you wrote is correct and I added another way to say.)

それで、今日はアパートの掃除をしたり、漢字の練習をしたり、テレビを見たりするかもしれません。

You can also say:

なので今日は(これから)アパートを掃除したり、漢字を練習したり、テレビを見たりするでしょう。

もうすぐアメリカに帰るから(or ので)、掃除(を)することと荷物を詰めることは一番大切ですけれど(or が)、本当に「ゲーム・オブ・スローンズ」の新しいエピソードを見たいんです(or 見たいのです)！

(In this sentence, I think 本当は「ゲーム・オブ・スローンズ」の新しいエピソードが見たいのです is better, it's my opinion.)

時間あれば、しなければならないことも楽しいことも(両方とも)できます。

Hi Marissa,

I think you are going to busier but please enjoy your time while you stay in Japan! By the way, your note is very good! As I wrote, I added another way to say with my opinion. I hope it helps you.